完全分数阶主方程的刘维尔定理及其应用

本文研究完全分数阶主方程 \begin{equation}\label{pdeq1} (\partial_t-\Delta)^s u(x,t) =f(x,t,u(x,t)),\,\,(x, t)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}. \end{equation} 首先我们证明齐次方程 \begin{equation}\label{pdeq0} (\partial_t-\Delta)^s u(x,t) = 0,\,\,(x, t)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}, \end{equation} 的刘维尔型定理，其中$0<s<1$。当$u$属于缓增函数空间 $$\mathcal{L}^{2s,s}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R})=\left\{u(x,t) \in L^1_{\rm loc} (\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}) \mid \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|u(x,t)|}{1+|x|^{n+2+2s}+|t|^{\frac{n}{2}+1+s}}\operatorname{d}\!x\operatorname{d}\!t<\infty\right\}$$ 并满足附加渐近假设 $$\liminf_{|x|\rightarrow\infty}\frac{u(x,t)}{|x|^\gamma}\geq 0 \; ( \mbox{or} \; \leq 0) \,\,\mbox{for some} \;0\leq\gamma\leq 1,$$ 在$\frac{1}{2}<s < 1$情形下，我们证明（\ref{pdeq0}）的所有解必为常数。该结果包含先前关于调和函数\cite{ABR}与$s$-调和函数\cite{CDL}的刘维尔定理作为特例。然后我们建立非齐次伪微分方程（\ref{pdeq1}）与相应积分方程之间的等价性。我们相信这些积分方程将成为进一步分析解定性性质（如正则性、单调性与对称性）的非常有用的工具。在推导刘维尔型定理的过程中，通过非常精细的计算，我们得到了$(\partial_t-\Delta)_{\rm right}^s \varphi(x,t)$衰减率的最优估计。这一尖锐估计将成为研究主方程的关键要素与重要工具。