主方程整体解之Gibbons猜想

本文在主方程\begin{equation*} (\partial_t-\Delta)^s u(x,t)=f(t,u(x,t)) \, \mbox{in}\, \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}. \end{equation*}的框架下建立了Gibbons猜想的一个推广版本。我们证明，对每个$t\in\mathbb{R}$，有界整体解$u(x,t)$必沿某一方向单调增，并且在$u$的某种一致收敛假设及$f$的适当递减条件下为一维对称。这些条件比原始Gibbons猜想中提出的对应条件略弱。为克服证明Gibbons猜想中的困难以及完全分数阶热算子$(\partial_t-\Delta)^s$强时空关联所带来的阻碍，我们引入了一些新思路并提供了若干新见解。更确切地说，我们首先导出一个加权平均不等式，它不仅为有界域上最大值原理提供了直接证明，且在进一步推导无界域上最大值原理中起着关键作用。此类平均不等式与最大值原理是实施滑动法的基本要素，随后我们应用这一直接方法证明了主方程设定下的Gibbons猜想。需注意，本文发展的整体方法具有高度通用性，将成为研究解的各种定性性质以及为广泛分数阶椭圆与抛物方程及方程组建立Gibbons猜想的有用工具。