扩散方程中对流项与拟线性项的确定

我们考虑一个高度非线性且不适定的反问题：从边界$\partial\Omega\times(0,T)$上的解的测量数据，确定出现在扩散方程$\partial_tu-\Delta_x u+F(x,t,u,\nabla_xu)=0$（其中$T>0$，$\Omega$为$\mathbb R^n$（$n\geq2$）中有界开子集）中的一般表达式$F(x,t,u,\nabla_xu)$。我们考虑$F(x,t,u,\nabla_xu)$的线性和非线性表达式。在线性情形，该方程可视为对流-扩散方程，我们的反问题对应于在某种合适意义下唯一地恢复与运动量相关联的随时间演化的速度场，以及在由Lipschitz区域上非光滑系数描述的粗糙设定下介质的密度。在非线性情形，我们证明可恢复出现在与更复杂模型相关联的非线性抛物方程中的更一般的拟线性表达式。此处目标是确定与我们的方程相关联的系统的底层物理规律。本文似乎首次考虑了依赖于时间和空间变量的广义向量值一阶系数的唯一恢复。此外，我们给出了从边界测量独立地于解而在系统内部演化的某类一般拟线性项的完全恢复结果。这些最新结果在一般性和精确性方面改进了Isakov的早期工作。另外，我们的结果就限制于侧向边界的测量而言，对Isakov在其经典著作（\textit{逆偏微分方程问题}）中提出的、推广到拟线性项恢复的开放问题给出了部分肯定回答。