关于反应扩散方程中非线性项的辨识

反应扩散方程是用于模拟物理现象最常见的偏微分方程之一。它们由两种物理过程结合而生：依赖于状态变量 $u$ 的驱动力 $f(u)$ 以及将该效应在空间域上扩散的机制。其规范形式为 $u_t - \triangle u = f(u)$。应用领域包括化学过程、热流模型与种群动力学。此类方程的正问题或前向问题现已得到充分发展与理解。然而，我们的兴趣在于反问题：恢复反应项 $f(u)$，不仅是在已知函数形式中确定少数参数，而是恢复其完整函数形式本身。为此我们建立抛物方程的通常范式，其中 $u$ 服从给定的初值与边值数据，然后规定由较晚时刻 $T$ 的解构成的过量数据。例如，在种群模型中这相当于固定时刻的普查数据。我们的方法有两方面。首先，我们将反问题转化为一个等价的非线性映射，并从中寻求不动点。我们将能证明该映射的重要特征，如自映射性质，并给出其压缩的条件。其次，我们考虑从 $f$ 经偏微分算子到过量数据的直接映射。我们将研究此情形下的牛顿格式。近几十年来，各种异常过程被用于推广经典布朗扩散。其中最流行的一种以阶数 $\alpha \leq 1$ 的分数阶导数替代通常的时间导数。我们也将此模型纳入分析。论文最后一节给出数值重构，证明了所提方法的可行性。