抛物方程中非线性扩散项的唯一性与重构

恢复扩散方程中系数的问题是基本反问题之一。或许最重要的项是耦合长度与时间尺度、并常在 $u_t - \nabla(a\nabla u) = f$ 中被称为扩散系数 $a$ 的项。在本文中，我们寻求未知的 $a$，假设 $a=a(u)$ 仅依赖于给定点处解的值。此类扩散模型是广泛物理现象的基础，如非线性热传导、化学混合和种群动力学。为恢复 $a(u)$，我们考虑两类超定数据：区域 $\Omega$ 边界上某固定点 $x_0$ 处时间迹 $u(x_0,t)$ 的值；或位于 $\Omega$ 内的内部曲线 $\Sigma$ 上 $u$ 的值。作为例子，这些可分别表示边界上的温度测量，或在固定时间 $T>0$ 对 $\Omega$ 某子集内种群的统计。在后一种情形，我们将证明一个唯一性结果，其导出恢复 $a$ 的构造性方法。事实上，对两类测量数据我们都将展示基于文中开发的迭代算法的重构。