有界区域上的分数阶非线性退化扩散方程 第一部分：存在性、唯一性与上界

我们研究了有界区域 $x\in\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 上、带有适当齐次 Dirichlet 边界条件的非线性分数阶扩散方程 $\partial_t u + \mathcal{L}F(u)=0$ 的非负解 $u(t,x)\ge 0$ 的定量性质。对于 $\mathcal{L}$，我们可以使用一类相当广泛的线性算子，它包含了有界区域中带有零 Dirichlet 边界条件的分数阶 Laplace 算子 $(-\Delta)^s$（$0<s<1$）的两种最常见版本，但也包含许多其他例子，因为我们的理论只需要“线性热半群”的一些基本性质。假设非线性函数 $F$ 是递增的且允许退化，其原型是幂次情形 $F(u)=|u|^{m-1}u$，其中 $m>1$。在本文中，我们提出了一类合适的该方程的解，并涵盖了基础理论：我们证明了此类解的存在性与唯一性，建立了两种形式的上界（绝对界与平滑效应），以及加权 $L^1$ 估计。此类解非常适合于这项工作。标准的 Laplace 算子情形 $s=1$ 被包含在内，且线性情形 $m=1$ 可在极限下恢复。在伴随论文 [12] 中，我们将利用本文的结果，通过更高级的估计（如上下边界行为和 Harnack 不等式）来完成这项研究。