一维某些高度奇异性非线性分数阶扩散方程极大解的存在性

我们考虑形如 $\partial_t u + (-\Delta)^s \Phi(u)= 0$ 的非线性抛物型方程，其中 $0<s<1$，并解决了一个关于非常奇异性非线性项 $\Phi$ 幂律形式解的存在性开放问题，具体为 $\Phi'(u)=c\,u^{-(n+1)}$，其中 $0< n<1$。我们还包括对数扩散方程 $\partial_t u + (-\Delta)^s \log(u)= 0$，这对应于 $n=0$ 的情形。我们考虑一维空间中的Cauchy问题，初始数据 $u_0(x)$ 为非负且可积，因为根据作者及合作者的近期结果，该问题在高维空间中不存在非平凡解。我们构造的极限解是唯一的、守恒质量的，并且实际上是问题的极大解。我们还构造了Barenblatt型的自相似解，作为存在性理论的基石，并证明它们是一般可积数据解的渐近吸引子（当 $t\to\infty$ 时）。我们引入了一种新的比较原理。