具有间断通量的消失动态毛细极限方程

我们证明对应于如下方程的柯西问题解的存在性与唯一性：\begin{equation*} \begin{cases} \partial_t u_{\varepsilon,\delta} +\mathrm{div} {\mathfrak f}_{\varepsilon,\delta}({\bf x}, u_{\varepsilon,\delta})=\varepsilon \Delta u_{\varepsilon,\delta}+\delta(\varepsilon) \partial_t \Delta u_{\varepsilon,\delta}, \ \ {\bf x} \in M, \ \ t\geq 0 u|_{t=0}=u_0({\bf x}). \end{cases} \end{equation*} 这里，${\mathfrak f}_{\varepsilon,\delta}$ 与 $u_0$ 为光滑函数，而 $\varepsilon$ 与 $\delta=\delta(\varepsilon)$ 为固定常数。假设 ${\mathfrak f}_{\varepsilon,\delta} \to {\mathfrak f} \in L^p( \mathbb{R}^d\times \mathbb{R};\mathbb{R}^d)$ 对某个 $1<p<\infty$，当 $\varepsilon\to 0$ 时强收敛，我们证明在 $\varepsilon$ 与 $\delta(\varepsilon)$ 之间依赖于通量 ${\mathfrak f}$ 正则性的适当关系下，解序列 $(u_{\varepsilon,\delta})$ 在 $L^1_{loc}(\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^d)$ 中强收敛于守恒律 $$\partial_t u +\mathrm{div} {\mathfrak f}({\bf x}, u)=0.$$ 证明中使用的主要工具是第一部分用的 Leray-Schauder 不动点定理，以及第二部分用的化为动力学公式并结合速度平均理论近期结果。