一类带加权强反应的反应扩散方程解的若干定性性质

我们研究拟线性反应扩散方程 $$\partial_tu=\Delta u^m+(1+|x|)^{\sigma}u^p,$$ 在 $(x,t)\in\real^N\times(0,\infty)$ 上所关联 Cauchy 问题的解的存在性与定性性质，其中 $m>1$、$p\in(0,1)$ 且 $\sigma>0$。初始数据取为有界、非负且紧支集的。在 $m+p\geq2$ 的范围内，我们证明了紧支集初始条件下解的\emph{局部存在性}及其支集的\emph{有限传播速度}。此情形下我们还通过规定解界面的演化，证明对给定紧支集初始条件，Cauchy 问题存在\emph{无穷多解}。在互补范围 $m+p<2$ 内，我们建立了 Cauchy 问题解所满足的新的\emph{Aronson-B\'enilan 估计}，其作为解先验估计具有独立意义。我们利用这些估计证明当 $m+p<2$ 时解支集具有\emph{无限传播速度}，即对任意 $x\in\real^N$、$t>0$ 有 $u(x,t)>0$，即便初始条件 $u_0$ 为紧支集时亦如此。