具临界奇异势的拟线性反应扩散方程指数自相似形式的永恒解

我们证明具有以下指数形式的自相似解的存在性与唯一性：$$u(x,t)=e^{\alpha t}f(|x|e^{-\beta t}), \qquad \alpha, \ \beta>0$$ 对应于如下拟线性反应扩散方程 $$\partial_tu=\Delta u^m+|x|^{\sigma}u^p,$$ 其中 (x,t)\in\real^N\times(0,T)，m>1，1<p<m，σ=-2(p-1)/(m-1)，维数 N\geq2；在附加假设 1<p<(m+1)/2 下，N=1 时同样结论成立。此类自相似解在文献中常被称为“永恒解”，因其对任意 t\in(-\infty,\infty) 均存在。作为这些永恒解存在的应用，我们证明了以任意初值 u_0\in L^{\infty}(\real^N) 的“整体弱解”之存在性，并特别说明若 u_0 具有紧支集，则这些弱解在任意 t>0 时仍保持紧支集。