含非齐次源的超临界快速扩散方程的全局解与有限时间爆破

本文考虑含空间非齐次源的超临界快速扩散方程 $$\partial_tu=\Delta u^m+|x|^{\sigma}u^p, \quad (x,t)\in\mathbb{R}^N\times(0,\infty)$$ 的自相似形式解，包括时间全局解与有限时间爆破解，其中 $$m_c=\frac{(N-2)_+}{N}\leq m<1, \quad \sigma\in(\max\{-2,-N\},\infty), \quad p>\max\left\{1+\frac{\sigma(1-m)}{2},1\right\}.$$ 证明了具有特定尾部行为 $$u(x,t)\sim C(m)|x|^{-2/(1-m)}, \qquad {\rm as} \ |x|\to\infty$$ 的全局自相似解恰好在 $p\in(p_F(\sigma),p_s(\sigma))$ 时存在，其中 $$p_F(\sigma)=m+\frac{\sigma+2}{N}, \qquad p_s(\sigma)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{m(N+2\sigma+2)}{N-2}, & N\geq3,\\\infty, & N\in\{1,2\}, \end{array}\right.$$ 分别为著名的Fujita与Sobolev临界指数。相反，本文表明呈现有限时间爆破的自相似解对任意 $\sigma\in(-2,0)$ 及上述 $p$ 均存在，但对任意 $\sigma\geq0$ 且 $p\in(p_F(\sigma),p_s(\sigma))$ 则不存在。我们强调，即便在齐次情形 $\sigma=0$ 下，所有这些结果也是\emph{全新的}。