具有强加权反应的反应扩散方程的自相似爆破剖面

我们研究了下述具有强加权反应和无界权重的二阶反应扩散方程的自相似爆破剖面: $$\partial_tu=\partial_{xx}(u^m) + |x|^{\sigma}u^p,$$ 其中 $x\in\real$, $t\geq0$, $m>1$, $0<p<1$ 且 $\sigma>2(1-p)/(m-1)$。首先,我们证明在考虑的参数范围内,当 $m+p>2$ 时存在自相似形式的有限时间爆破解,这是一个全新的事实:在已研究的无权重反应扩散方程中,当 $p<1$ 时不存在有限时间爆破。此外我们证明,若满足 $m+p>2$ 条件,则所有自相似爆破剖面都具有紧支集,并且方程的解存在两种不同的界面行为,对应于两个不同的界面方程。我们对具有两类界面的自相似爆破剖面进行了分类,并表明在某些情况下发生全局爆破,而在另一些情况下有限时间爆破仅发生在空间无穷远处。我们还证明当 $m+p<2$ 时不存在自相似解,而临界范围 $m+p=2$ 且 $\sigma>2$ 由于显著的技术差异将推迟至另一项工作。