具有临界加权反应的反应扩散方程的爆破剖面

我们对如下具有加权反应的反应扩散方程 $$u_t=(u^m)_{xx} + |x|^{\sigma}u^m,$$ 在 $(x,t)\in\real\times(0,T)$ 上，其中 $m>1$ 且 $\sigma>0$，分类其爆破自相似剖面。与已被充分研究的不带权方程（即 $\sigma=0$）形成强烈对比的是，一方面我们证明对于充分小的 $\sigma>0$，存在具有在有限点处界面的多个自相似剖面，更确切地说，给定任意正整数 $k$，存在 $\delta_k>0$ 使得对于 $\sigma\in(0,\delta_k)$，至少存在 $k$ 个不同的具有紧支集且在正点处带界面的爆破剖面。另一方面，我们也证明对于充分大的 $\sigma$，带界面的爆破自相似剖面不再存在。当 $\sigma>0$ 增大时，多重解的存在与任意解的不存在之间这种出乎意料的平衡，归因于权 $|x|^{\sigma}$ 存在的效应，其影响是我们研究的主要目标。我们还证明对任意 $\sigma>0$，不存在定义于整个空间上的爆破剖面，即在任意 $x\in\real$ 和 $t\in(0,T)$ 处均有 $u(x,t)>0$ 的剖面。