带源拟线性扩散方程爆破解的存在性与多重性

我们对带有加权源的拟线性扩散方程 $$u_t=\Delta u^m+|x|^{\sigma}u^p,$$ 在 $(x,t)\in\real^N\times(0,T)$，$T>0$，维度 $N\geq1$ 以及指数范围 $-2<\sigma<\infty$，$1<m<p<p_s(\sigma)$ 内，对呈现有限时间爆破的径向对称自相似轮廓进行了分类，其中 $$p_s(\sigma)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{m(N+2\sigma+2)}{N-2}, & N\geq3,\ +\infty, & N\in\{1,2\},\end{array}\right.$$ 是著名的 Sobolev 临界指数。最有趣的结果是，在维度 $N\geq2$ 中，当 $p$ 足够接近 $m$ 且 $\sigma$ 足够接近零时，存在\emph{两种不同类型的多重}自相似轮廓，包括\emph{死核轮廓}。对于 $\sigma=0$，这在维度 $N\geq2$ 中回答了文献 \cite[Section IV.1.4, pp. 195-196]{S4} 中一个悬而未决的问题，该文献仅在维度 $N=1$ 中确立了多重性。除此结果外，我们还证明，对于任何 $\sigma\in(-2,0)$，$N\geq1$ 和 $m<p<p_s(\sigma)$，至少存在一个自相似爆破解是\emph{有保证的}。与先前结果形成强烈对比的是，对于任何 $N\geq1$，$\sigma\geq\sigma^*=(mN+2)/(m-1)$ 和 $p\in(m,p_s(\sigma))$，我们证明了\emph{不存在}任何径向对称的自相似轮廓。