具有拟线性退化扩散的抛物型 Hardy-Hénon 方程

我们研究了以下 Hardy-Hénon 方程的局部和全局适定性以及有限时间爆破，该方程涉及拟线性退化扩散和具有奇异势的空间依赖超线性源 $$\partial_t u=\Delta u^m+|x|^{\sigma}u^p,\quad t>0,\ x\in\mathbb{R}^N,$$ 其中 $m>1$，$p>1$，$\sigma\in \big(\max\{-2,-N\},0 \big)$。虽然超线性源在 $\sigma=0$ 时会引发有限时间爆破，无论 $p>1$ 取何值，至少对于充分大的初始条件，奇异势 $|x|^\sigma$ 的一个显著效应是阻止了 $p$ 取适当小值时的有限时间爆破，即 $1<p\le p_G := [2-\sigma(m-1)]/2$。此类结果以及 $p>p_G$ 时解的局部存在性，均通过运用 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式获得。另一个有趣的特征是，当 $p>p_G$ 时，对于一般的非负初始条件，唯一性和比较原理成立，但当 $p\in (1,p_G)$ 时，其有效性仅限于在 $x=0$ 附近为正的初始条件，而在此范围内，若无此正性条件则存在非唯一性。当 $p_G<p\leq p_F:=m+(\sigma+2)/N$ 时，建立了任何非平凡非负解的有限时间爆破；当 $p>p_F$ 时，证明了某些临界 Lebesgue 空间中小初始数据的全局存在性以及具有负能量的初始数据的有限时间爆破。对于 $p\in (1,p_G]$ 的全局解，还推导了最优时间增长速率。所有结果对于指数 $(m,p,\sigma)$ 和 $u_0$ 的条件都是最优的。