强制项对退化奇异抛物方程有限时间 Blow-Up 效应的研究

我们研究带有强制项的退化奇异抛物方程\n$$|x|^{\sigma_1}u_t = \Delta u + |x|^{\sigma_2}|u|^p + t^\varrho \mathbf{w}(x), \quad (t,x)\in(0,\infty)\times\mathbb{R}^N,$$\n其中 $N\ge 2$, $\sigma_1,\sigma_2>-2$, $\varrho>-1$, $p>1$, $\mathbf{w}\in L^1(\mathbb{R}^N)$ 为连续函数。我们建立了临界指数，严格分隔全局存在与有限时间 Blow-Up 的边界。对于 $\varrho>0$，我们证明所有 $p>1$ 时都不存在弱全局解。当 $-1<\varrho<0$ 时，我们证明若\n$$p < p^*:=\frac{N+\sigma_2-\varrho(2+\sigma_1)}{N-2-\varrho(2+\sigma_1)},$$\n且 $\int\limits_{\mathbb{R}^N}\mathbf{w}(x)\,dx>0$，则每个弱解在有限时间内 Blow-Up。在 $\varrho=0$ 时，Blow-Up 发生于 $p\le (N+\sigma_2)/(N-2)_+$ 且 $N\ge 2$ 的情况下。相反，对于 $p>p^*$ 且在初始数据和强制项满足小条件时，我们证明存在唯一的全局温和解。分析依赖于尺度变换、退化算子的半群估计以及加权时间 Lebesgue 空间中的固定点论证。