一类具有非线性阻尼与对数源项的变系数波动方程的爆破与衰减

本文研究了一类具有非线性阻尼与对数源项的变系数波动方程解的长时间行为。利用 Galerkin 方法与压缩映射原理可得到局部弱解的存在唯一性。然而，解的长时间行为通常较为复杂，并依赖于阻尼项与源项之间的平衡机制。当阻尼指数 $(p+1)$（见假设 (H3)）大于源项指数 $(q-1)$（见方程 (1.1)），即 $p+2>q$ 时，我们对任意初值得到了弱解的全局存在性与能量的精确衰减率。此外，弱解是否全局存在或在有限时间内爆破，与初值密切相关。在修正的势阱理论框架下，我们构造了初值的稳定集与不稳定集（见 (2.8)）。对于属于稳定集的初值，我们证明弱解全局存在且具有与前述结果类似的衰减率。对于 $p+2<q$ 且初值属于不稳定集的情形，我们证明了对一种较特殊的阻尼 $g(u_{t})=|u_{t}|^{p}u_{t}$，弱解在有限时间内爆破。