带时空强迫项的Hardy-Hénon方程的次临界Fujita指数

本工作的目的是分析高阶抛物半线性方程 $$u_t+(-\Delta)^{d}u=|x|^{\alpha}|u|^{p}+\zeta(t){\mathbf w}(x) \ \quad\mbox{for } (x,t)\in\mathbb{R}^{N}\times(0,\infty),$$ 的解的适定性与爆破，其中 $d\in (0,1)\cup \mathbb{N}$， $p>1$， $-\alpha\in(0,\min(2d,N))$ 或 $\alpha\geq 0$，且 $\zeta$ 与 ${\mathbf w}$ 为适当的给定函数。给定 $p\geq \frac{N-2d\sigma+\alpha}{N-2d\sigma-2d}$ 并令 $p_c=\frac{N(p-1)}{2d+\alpha}$， $\ell=\frac{N p_c}{N+2(\sigma+1)d p_c}$，我们证明在假设 $\zeta(t)=t^{\sigma}$， $\sigma\in (-1,0)$ 且 $N>2d$ 下，对于任意具有小范数的数据 $u_0\in L^{p_c,\infty}(\mathbb{R}^N)$ 和 $\textbf{w}\in L^{\ell,\infty}(\mathbb{R}^N)$，在空间 $C_{b}([0,\infty);L^{p_c,\infty}(\mathbb{R}^N))$ 中存在唯一的全局时间解。作为副产品，得到了小Lebesgue数据的全局存在性，特别地，在 $p\in (\frac{N+\alpha}{N-2d},\infty)$ 时， $C_{b}([0,\infty);L^{p_c}(\mathbb{R}^N))$ 中成立无条件唯一性。若要么 $m\in (-\infty,0]$ 且 $p\in (1,\frac{N-2dm+\alpha}{N-2dm-2d})$，要么 $m>0$ 且 $p>1$，其中 $\zeta(t)=O(t^m)$， $t\rightarrow\infty$ （$m\in \mathbb{R}$），则在附加条件 $\int_{\mathbb{R}^N}\textbf{w}(x)\,dx>0$ 下所有解均爆破。由此我们推得，相应的Fujita临界指数依赖于 $\sigma$，当 $-1<\sigma<0$ 时为 $p_{F}(\sigma)=\frac{N-2d\sigma+\alpha}{N-2d\sigma-2d}$，否则为无穷大。