涉及 Hardy-Leray 势的分数阶热方程

在本文中，我们分析了具有 Hardy-Leray 型势的非局部抛物型方程非负解的存在性与非存在性。更确切地说，我们考虑如下问题：$$\begin{cases} (w_t-\Delta w)^s=\frac{\lambda}{|x|^{2s}} w+w^p +f, &\text{ in }\mathbb{R}^N\times (0,+\infty),\ w(x,t)=0, &\text{ in }\mathbb{R}^N\times (-\infty,0], \end{cases}$$ 其中 $N> 2s$，$0<s<1$ 且 $0<\lambda<\Lambda_{N,s}$，$\Lambda_{N,s}$ 为分数阶 Hardy-Leray 不等式中的最优常数。特别地，我们证明了存在一个临界存在指数 $p_{+}(\lambda, s)$ 和一个 Fujita 型指数 $F(\lambda,s)$，使得以下结论成立：- 设 $p>p_+(\lambda,s)$。此时不存在任何非负上解。- 设 $p<p_+(\lambda,s)$。此时存在局部解，而对于全局解我们需要区分两种情况：- 设 $1< p\le F(\lambda,s)$。在此我们证明任何正解的加权范数都会在有限时间内爆破。- 设 $F(\lambda,s)<p<p_+(\lambda,s)$。在此我们在适当假设下证明了全局解的存在性。