凹型非线性抛物方程

本文证明了形如 $u_t+\mathcal{L}u=f+h\cdot G(u)$ 的半线性抛物方程在凹函数 $G$（例如 $G(u)=u^\alpha$，其中 $0<\alpha<1$）下的正 mild 解的存在性与唯一性。与凸函数 $G$ 情形不同，后者会出现 Fujita 指数，且仅能在特殊数据下获得正解的存在性，而本文的凹型情况则对任意正数据都能保证解的存在性与唯一性。该方法依赖于证明针对具有凹非线性项的某类 Hammerstein-Volterra 型积分方程在任意度量空间中的解的存在性与唯一性。因此，在对 $f, h$ 和 $G$ 的若干广泛假设下，我们获得了在各种场景下（例如 $\mathcal{L}$ 为完全黎曼流形上的 Laplacian，如任意秩的对称空间，或一般 Lie 群上的 H"ormander 和平方和）半线性抛物方程在凹型非线性下的 mild 解的存在性与唯一性。我们还研究了带阻尼项的相应方程，此时可进一步放宽假设条件。