Kirchhoff 型梁方程正解的存在唯一性

本文研究四阶 Kirchhoff 型问题 $$\left\{\begin{array}{ll} u''''(x)-(a+b\int_0^1(u'(x))^2dx)u''(x)=\lambda f(u(x)),\ \ \ \ x\in(0,1),\\ u(0)=u(1)=u''(0)=u''(1)=0,\\ \end{array} \right.$$ 正解的存在唯一性，其中 $a>0, b\geq 0$ 为常数，$\lambda\in \mathbb{R}$ 为参数。对于 $f(u)\equiv u$ 的情形，我们基于四阶方程的线性特征值问题及其性质进行论证，表明对所有 $\lambda>\lambda_{1,a}$ 存在唯一正解，此处 $\lambda_{1,a}$ 是上述取 $b=0$ 问题的第一特征值；对于 $f$ 为次线性的情形，我们利用分支法证明对所有 $\lambda>0$ 存在唯一正解，而对 $\lambda<0$ 无正解。