一维 Kirchhoff 型方程的分岔图

我们研究一维 Kirchhoff 型方程 $$-(b + a\Vert u'\Vert^{2}) u''(x) = \lambda u(x)^p, x \in I:= (-1,1), \enskip u(x) > 0, \enskip x\in I, \enskip u(\pm 1) = 0,$$ 其中 $\Vert u'\Vert = \left(\int_I u'(x)^2 dx\right)^{1/2}$, $a > 0, b > 0, p> 0$ 为给定常数且 $\lambda > 0$ 为分岔参数。我们建立了精确解 $u_\lambda(x)$ 以及分岔曲线 $\lambda = \lambda(\xi)$ 的完整形状,其中 $\xi:= \Vert u_\lambda\Vert_\infty$。我们还研究非线性特征值问题 $$-\Vert u'\Vert^{p-1} u''(x) = \mu u(x)^p, x \in I, \enskip u(x) > 0, x\in I, \enskip u(\pm 1) = 0,$$ 其中 $p > 1$ 为给定常数且 $\mu > 0$ 为特征值参数。我们利用简单的时间映射方法建立了该问题的第一特征值与特征函数。