具有幂型非线性的超临界双调和方程

研究了全空间 $\mathbb{R}^n$ 中的双调和超临界方程 $\Delta^2u=|u|^{p-1}u$，其中 $n>4$ 且 $p>(n+4)/(n-4)$，以及在单位球内右端项为 $\lambda(1+u)^p$ 并带有附加特征值参数 $\lambda>0$ 的修正形式，后一种情况附带 Dirichlet 边界条件。对于整体正则径向解，我们证明了其在显式已知的径向奇异解附近的振荡行为，前提是 $p\in((n+4)/(n-4),p_c)$，其中 $p_c\in ((n+4)/(n-4),\infty]$ 是一个进一步的临界指数，由 Gazzola 和第二作者在近期工作中引入。第三作者已证明，在互补情形 $p\ge p_c$ 中不会发生这些振荡。关于 Dirichlet 问题，我们证明了存在至少一个具有相应特征值参数的奇异解。此外，对于该非线性双调和特征值问题分岔图中的极值解，我们证明了只要 $p\in((n+4)/(n-4),p_c)$，其具有光滑性。