关于具有多项式增长的双调和问题的稳定解

我们证明了双调和问题 $\Delta^2 u= u^p$, $u>0$ 在 $\R^N$ 中对于 $1 < p < \infty$ 且 $N < 2(1 + x_0)$ 时不存在光滑稳定解，其中 $x_0$ 是以下方程的最大根：$$x^4 - \frac{32p(p+1)}{(p-1)^2}x^2 + \frac{32p(p+1)(p+3)}{(p-1)^3}x -\frac{64p(p+1)^2}{(p-1)^4} = 0.$$ 特别地，由于当 $p > 1$ 时 $x_0 > 5$，我们得出对于任意 $N \leq 12$ 和 $p > 1$ 不存在光滑稳定解。此外，我们还考虑了半空间 $\R^N_+$ 中的相应问题，或有界光滑区域 $\O$ 上具有 Navier 边界条件的椭圆问题 $\Delta^2 u= \lambda(u+1)^p$。我们将证明低维情形下极值解的正则性。我们的结果改进了先前的工作。