加权椭圆系统稳定解的 Liouville 型定理

我们研究加权椭圆系统 \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u=(1+|x|^2)^{\frac{\alpha}{2}} v,\\ -\Delta v=(1+|x|^2)^{\frac{\alpha}{2}} u^p, \end{cases} \quad \mbox{in}\;\ \mathbb{R}^N, \end{equation*}其中 $N \ge 5$，$p>1$ 且 $\alpha >0$。我们证明了在维度 $N<\ell+\dfrac{\alpha (\ell-2)}{2}$（$N <\ell+\dfrac{\alpha (\ell-2)(p+3)}{4(p+1)}$）且 $\ell \ge 5$，$p \in (1,p_*(\ell))$ 时，经典正（非负）稳定解的 Liouville 型结果。特别地，对于任意 $p>1$ 和 $\alpha > 0$，我们得出对于任意 $N \le 12+5 \alpha$（$N\le 12+\dfrac{5\alpha (p+3)}{2(p+1)}$），不存在经典正（非负）稳定解。