涉及 Grushin 算子的椭圆系统稳定解的 Liouville 型定理

我们考察退化椭圆系统 $$-\Delta_{s} u = v^p, \quad -\Delta_{s} v= u^\theta, \quad u,v>0 \quad\mbox{in }\; \mathbb{R}^N=\mathbb{R}^{N_1}\times \mathbb{R}^{N_2}, \quad\mbox{where }\;\;\;\; s \geq 0\;\; \mbox{and} \;\;p,\theta >0.$$ 我们证明当 $p,\theta >0$ 且 $N_s< 2 + \alpha + \beta$ 时该系统无光滑稳定解，其中 $$\alpha = \frac{2(p+1)}{p\theta - 1} \quad\mbox{and} \quad \beta = \frac{2(\theta +1)}{p\theta - 1}.$$ 该结果是对 \cite{MY} 中某些结果的推广。特别地，我们建立了关于 $u$ 和 $v$ 的一个新积分估计（见命题 1.1），它对于处理 $0 < p < 1$ 的情形至关重要。