加权 Lane-Emden 系统稳定解的 Liouville 定理

我们研究一般的加权 Lane-Emden 系统 \begin{align*} -\Delta u = \rho(x)v^p,\quad -\Delta v= \rho(x)u^\theta, \quad u,v>0\quad \mbox{in }\;\mathbb{R}^N \end{align*} 其中 $1<p\leq\theta$，且 $\rho: \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ 是一个径向连续函数，在满足某些 $\alpha\geq 0$ 和 $A>0$ 的条件下，于 $\mathbb{R}^N$ 中有 $\rho(x)\geq A(1+|x|^2)^{\frac{\alpha}{2}}$。我们证明了关于稳定解的一些 Liouville 型结果，并改进了先前的工作 \cite{co, Fa, HU}。特别地，我们建立了一个新的比较性质（见下文命题 1.1），它对于处理 $1 < p \leq \frac{4}{3}$ 的情形至关重要。我们的结果也可应用于 $\mathbb{R}^N$ 中的加权 Lane-Emden 方程 $-\Delta u = \rho(x)u^p$。