多重调和Hénon-Lane-Emden系统的Liouville定理

我们研究以下多重调和Hénon-Lane-Emden系统：\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lcl} (-\Delta)^m u&=& |x|^{a}v^p \ \ \text{in}\ \ \mathbb{R}^n,\\ (-\Delta)^m v&=& |x|^{b}u^q \ \ \text{in}\ \ \mathbb{R}^n, \end{array}\right. \end{eqnarray*} 其中$m,p,q \ge 1,$ $pq\neq1$, $a,b\ge0$。主要猜想指出，当$(p,q)$在临界Sobolev双曲线之下，即$\frac{n+a}{p+1}+\frac{n+b}{q+1}>{n-2m}$时，该系统唯一的非负解是$(u,v)=(0,0)$。我们证明在维数$n=2m+1$时对于有界解确实如此。特别地，当$a=b$且$p=q$时，这意味着在维数$n=2m+1$中，对于次临界Sobolev指数，即$1<p<{1+4m+2a}$，多重调和Hénon方程\begin{equation*} (-\Delta)^m u= |x|^{a}u^p \ \ \text{in}\ \ \mathbb{R}^{n} \end{equation*} 唯一的非负有界解是$u=0$。此外，我们证明该猜想对任意维数的径向解成立。似乎幂权函数$|x|^a$和$|x|^b$在处理非径向解时使问题变得极具挑战性。