半空间上临界阶 Hénin-Lane-Emden 型方程的刘维尔型定理及其应用

本文关注半空间 $\mathbb{R}^n_+$ 上带 Navier 边界条件的临界阶 Hénon-Lane-Emden 型方程：\begin{equation}\label{NPDE0}\\\begin{cases} (-\Delta)^{\frac{n}{2}} u(x)=f(x,u(x)),\ u(x)\geq0,\ x\in\mathbb{R}^{n}_+, \\ u=(-\Delta)u = \cdots = (-\Delta)^{\frac{n}{2}-1}u = 0,\ x\in\partial\mathbb{R}^{n}_+, \end{cases}\end{equation} 其中 $u\in C^{n}(\mathbb{R}^{n}_+)\cap C^{n-2}(\overline{\mathbb{R}^{n}_+})$ 且 $n\geq2$ 为偶数。我们首先考虑典型情形 $f(x,u)=|x|^{a}u^{p}$，其中 $0\leq a<\infty$ 且 $1<p<\infty$。我们证明了超多调和性质，并建立了 (0.1) 与相应积分方程 \begin{equation}\label{IE0} u(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}_+}G(x,y)f(y,u(y))dy, \end{equation} 之间的等价性，其中 $G(x,y)$ 表示 $\mathbb{R}^n_+$ 上带 Navier 边界条件的 $(-\Delta)^{\frac{n}{2}}$ 的格林函数。进而，我们通过 Dai 与 Qin 在 \cite{DQ0} 中最初发展的“缩放球面法”建立了 (0.2) 的刘维尔定理，从而得到了 (0.1) 在 $\mathbb{R}^n_+$ 上的刘维尔定理。作为 $\mathbb{R}^n_+$ 上刘维尔定理（定理 1.6）以及 Chen、Dai 与 Qin [4]（$n\geq4$）和 Bidaut-Véron 与 Giacomini [1]（$n=2$）在 $\mathbb{R}^{n}$ 中建立的刘维尔定理的应用，我们导出了对所有 $n\geq2$ 与 $1<p<\infty$ 有界域上临界阶 Lane-Emden 方程正解的先验估计与存在性。我们也包含了对具有一般非线性项 $f(x,u)$ 的积分方程与偏微分方程的推广。