外区域上带 Dirichlet 条件的椭圆方程的 Liouville 型定理

本文主要研究外区域上以下椭圆方程的 Dirichlet 问题：\begin{equation}\label{GPDE0} (-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(x)=f(x,u) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{in} \,\,\,\, \Omega_{r}:=\{x\in\mathbb{R}^{n}\,|\,|x|>r\} \end{equation} 其中 $r>0$ 任意，$n\geq2$，$0<\alpha\leq 2$，且 $f(x,u)$ 满足若干假设。一个典型情形是外区域上的 Hardy-H\'{e}non 型方程。我们首先推导出 \eqref{GPDE0} 与相应积分方程 \begin{equation}\label{GIE0} u(x)=\int_{\Omega_{r}}G_{\alpha}(x,y)f(y,u(y))dy, \end{equation} 之间的等价性，其中 $G_{\alpha}(x,y)$ 表示 $(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$ 在 $\Omega_{r}$ 上带 Dirichlet 边界条件的 Green 函数。然后，我们利用 Dai 和 Qin 在 \cite{DQ0} 中发展的伸缩球面法建立了 \eqref{GIE0} 的 Liouville 定理，从而得到 \eqref{GPDE0} 的 Liouville 定理。此外，还推导了 $\Omega_{r}$ 中与高阶 Navier 问题相关的积分方程的 Liouville 定理。