双连通域中 Liouville 方程的极大解

本文中我们考虑 Liouville 方程 $\Delta u +\lambda^2 e^{\,u}=0$ 在二维双连通域 $\Omega$ 中带 Dirichlet 边界条件的情形。我们证明存在一条简单闭曲线 $\gamma\subset \Omega$，使得对序列 $\lambda_n\to 0$ 与解序列 $u_{n}$ 有 $\frac{u_{n}}{\log\frac{1}{\lambda_n}}\to H$，其中 $H$ 是 $\Omega\setminus\gamma$ 中的调和函数，且 $\frac{\lambda_n^2}{\log\frac{1}{\lambda_n}}\int_\Omega e^{\,u_n}\,dx\to 8\pi c_\Omega$，其中 $c_\Omega$ 是仅依赖于 $\Omega$ 共形类的常数。