关于 $\mathrm{div}$ 方程在外倒挂域中可解性的若干反例

本文考察了方程 $\mathrm{div} \ \mathbf{u} = f$ 带零Dirichlet边界条件的可解性。经典结果表明，对有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 且边界为 Lipschitz 且 $f \in L^p(\Omega)$ 且具有零平均值的情况，存在解 $\mathbf{u} \in (W_0^{1, p}(\Omega))^N$，且 $W^{1,p}$ 范数由右侧项 $f$ 的 $L^p$ 范数控制。该结果被推广到 John 域，但在具有外部倒挂（external cusps）的域中排除了解算子存在。我们的目标是指定至少一些右侧项的类别，使得问题在空间 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中不能有解。我们首先将Luc Tartar 原初表述用于二维空间中右侧项在 $\overline{L^2}$ 范数下的反例推广到更一般的 $\overline{L^p}$ 空间中的右侧项以及更一般类型的奇异域。随后我们将该结果推广到任意维度 $N$。回到二维空间，我们研究边界性质优于先前研究的 Hölder 连续域的情况，构建这些情形下的反例。