Lipschitz 域上具奇异漂移椭圆方程的 Dirichlet 和 Neumann 问题

我们考虑有界 Lipschitz 域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ $(n\geq 3)$ 中二阶线性椭圆方程的 Dirichlet 和 Neumann 问题：$$-\triangle u +\mathrm{div}(u\mathbf{b}) =f \quad\text{ 和 }\quad -\triangle v -\mathbf{b} \cdot \nabla v =g$$，其中 $\mathbf{b}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是给定向量场。在假设 $\mathbf{b} \in L^{n}(\Omega)^n$ 下，我们首先建立了 Dirichlet 和 Neumann 问题在 $L_{\alpha}^{p}(\Omega)$ 中解的存在唯一性。这里 $L_{\alpha}^{p}(\Omega)$ 表示 Sobolev 空间（或 Bessel 势空间），其指标对 $(\alpha,p)$ 满足特定条件。这些结果推广了 Jerison-Kenig [17] 和 Fabes-Mendez-Mitrea [12] 关于泊松方程的经典工作。我们还证明了具有边界数据属于 $L^{2}(\partial\Omega)$ 的 Dirichlet 问题解的存在唯一性。我们对 Dirichlet 问题的结果即便在 $n=2$ 的情形也成立。