图形 Lipschitz 域中 $A_{\infty}$ 边界测度下的边值问题

我们证明了在平面上具有 $A_{\infty}$ 边界测度的图形 Lipschitz 域中，对拉普拉斯方程的 Dirichlet 问题、Neumann 问题和 Regularity 问题所具有的若干结果。更具体地说，我们研究了 Dirichlet 问题的 $L^{p,1}$ 可解性，补充了 Kenig (1980) 和 Carro 与 Ortiz-Caraballo (2018) 的结果。随后，我们研究了 Neumann 问题的 $L^p$ 可解性，得到的可解性范围在某些情况下为空，这与弧长情况有一个明显的差异。当其非空时，它是一个区间，我们考虑端点的可解性，在 $p>1$ 时建立了 Lorentz 空间可解性条件，在 $p=1$ 时建立了原子 Hardy 空间可解性条件。求解 Lorentz 端点问题后，我们得到一个两权重 Sawyer 型不等式，并给出了充分条件。最后，我们展示如何将 Neumann 问题的结果推广到 Regularity 问题。