非Lipschitz一致域上的边值问题：稳定性、紧致性与最优形状的存在性

我们研究 $\mathbb{R}^n$（$n\geq 2$）中有界一致域、具有非Lipschitz（且可能为分形）边界上的边值问题。我们证明了在公共有界约束内一致 $(\varepsilon,\infty)$-域的带迹项与一致常数的庞加莱不等式。随后我们引入泊松型方程的广义狄利克雷、罗宾与诺伊曼问题，并证明沿适当收敛域序列相关联的能量泛函的Mosco收敛。这蕴含了弱解的稳定性结果，也蕴含了相关联预解式的范数收敛以及相应特征值与特征函数的收敛。基于我们早前的工作，我们证明了对参数化 admissible 域类、能量泛函与弱解的紧致性结果。利用这些结果，我们可验证这些类中最优形状的存在性。