有界几何流形上的一致 Shapiro-Lopatinski 条件与边值问题
偏微分方程分析
2019-04-12 v3 微分几何
摘要
我们研究了具有边界和有界几何的流形上二阶边值问题解的正则性。我们首先证明，给定边值问题 的正则性性质等价于局部坐标下相关边值问题自然族 的一致正则性。我们通过紧致性论证验证了 Dirichlet 边界条件和强椭圆算子满足该性质。随后，我们引入了一致 Shapiro-Lopatinski 正则性条件，这是对经典条件的修改，并证明它刻画了满足通常正则性性质的边值问题。我们还证明，只要算子满足强 Legendre 条件，自然 Robin 边界条件始终满足一致 Shapiro-Lopatinski 正则性条件。这是通过修改经典的“Nirenberg 技巧”证明“适定性蕴含正则性”来实现的。将我们的正则性结果与 (Ammann-Grosse-Nistor, 预印本 2015) 的 Poincare 不等式相结合，即可在通常的 Sobolev 空间尺度下获得经典边值问题的通常适定性结果，从而将这些重要的、众所周知的定理从光滑有界区域推广到具有边界和有界几何的流形。正如我们在几个示例中所示，如果放弃有界几何假设，这些结果将不再成立。我们还引入了一致 Agmon 条件，并证明其等价于强制性。因此，我们证明了其椭圆生成元满足一致 Agmon 条件的抛物方程的适定性结果。
引用
@article{arxiv.1703.07228,
title = {Uniform Shapiro-Lopatinski conditions and boundary value problems on manifolds with bounded geometry},
author = {Nadine Große and Victor Nistor},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.07228},
year = {2019}
}
备注
Major changes: we focused more on the regularity results and included a general discussion of Shapiro-Lopatinski conditions