$\mathbb{R}^n$ 中两个混合边界值椭圆偏微分方程的存在性结果

我们研究在 bounded Lipschitz 域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 及 $\mathbb{R}^N\setminus\Omega$（$N\geq3$）中，Helmholtz 与 Poisson 型方程混合边界值问题解的存在性。$\Omega$ 的边界 $\partial\Omega$ 分解为 $\Gamma_1,\Gamma_2\subset\partial\Omega$，使得 $\partial\Omega=\Gamma=\overline{\Gamma}_1\cup\Gamma_2=\Gamma_1\cup\overline{\Gamma}_2$ 且 $\Gamma_1\cap\Gamma_2=\emptyset$。我们已证明：若 Neumann 数据 $f_2\in H^{-\frac{1}{2}}(\Gamma_2)$ 且 Dirichlet 数据 $f_1\in H^{\frac{1}{2}}(\Gamma_1)$，则具混合边界数据的 Helmholtz 问题存在唯一解。我们还证明了由 Poisson 方程控制的混合边界值问题弱解的存在性，该方程带测度数据，其 Dirichlet、Neumann 数据分别属于 $f_1\in H^{\frac{1}{2}}(\Gamma_1)$、$f_2\in H^{-\frac{1}{2}}(\Gamma_2)$。