使用 Morse 理论求解合作椭圆系统的存在性与多解性

本文研究了以下椭圆系统的非平凡解的存在性：\begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} -\Delta u & = au + bv + f(x,u,v); &\quad\mbox{ for }x\in\Omega,\\ -\Delta v & = bu + cv + g(x,u,v), &\quad\mbox{ for }x\in\Omega,\\ u&=v=0,&\quad\mbox{ on }\partial\Omega, \end{aligned} \right\qquad (1) \end{equation}对于 $x\in\Omega$，其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ 为光滑边界 $\partial\Omega$ 的开放且连通有界集，$N\geqslant 3,$，$u,v:\overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$，$a,b,c\in\mathbb{R}$，且 $f,g : \overline{\Omega} \times\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ 为连续函数，且 $f(x,0,0)=0$ 且 $g(x,0,0) = 0$，且具有次临界的超二次增长。我们证明边界值问题 (1) 在矩阵 $\displaystyle \textbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ 的特征值高于 $\Omega$ 上 first 特征值的情形下至少存在两个非平凡解；$u = v= 0$ 在 $\partial\Omega$ 上。我们采用变分方法和无限维 Morse 理论来获得解的多解性。