具有齐次非线性和梯度结构的抛物系统的刘维尔定理

标度不变非线性抛物方程与系统的刘维尔定理（即方程或系统不存在非平凡整体解）保证了相关初值与初边值问题解的最优一致估计。设 $p>1$ 在 Sobolev 意义下是次临界的。对于非负解及系统 $$U_t-\Delta U=F(U)\quad\hbox{in}\quad {\mathbb R}^n\times{\mathbb R},$$ 其中 $U=(u_1,\dots,u_N)$，$F=\nabla G$ 是 $p$-齐次的且满足正性假设：当 $U\neq0$ 时 $G(U)>0$，以及存在某个 $\xi\in{\mathbb R}^N$ 和所有 $U\geq0$、$U\ne 0$ 有 $\xi\cdot F(U)>0$，近来 [P. Quittner, Duke Math. J. 170 (2021), 1113-1136] 已证明：只要对应的椭圆系统 $-\Delta U=F(U)$ 的椭圆刘维尔定理成立，抛物刘维尔定理就成立。通过修改该证明中的论证，我们证明同样的结果在去掉 $G$ 与 $F$ 的正性假设下仍成立，并且解的类也可扩大以包含（部分或全体）变号解。特别地，在标量情形 $N=1$ 且 $F(u)=|u|^{p-1}u$ 时，我们的结果涵盖了 [T. Bartsch, P. Polacik and P. Quittner, J. European Math. Soc. 13 (2011), 219-247] 中的主要结果。我们还证明了在 ${\mathbb R}^n_+\times{\mathbb R}$ 中满足 $\partial{\mathbb R}^n_+\times{\mathbb R}$ 上齐次 Dirichlet 边界条件的解的抛物刘维尔定理，因为若要对 $\Omega\times(0,T)$ 中相关系统的解证明一致估计（其中 $\Omega\subset{\mathbb R}^n$ 是光滑区域），此类定理也是必需的。最后，我们利用刘维尔定理证明了特定抛物系统的一致估计。