带半线性项的各向异性 $p$-Laplace 方程的 Liouville 定理

本文研究了关于各向异性 $p$-Laplace 方程 $$-\Delta_p^H u=-\operatorname{div}(a(\nabla u))=f(u),\quad\text{in }\mathbb{R}^n,$$ 的解的 Liouville 定理，其中半线性项 $f$ 可能为正、负或符号变化。当 $f$ 为正（负）且满足某些条件时，应用 Serrin 技术表明每个正次超解（正次解）必须为常数。对于亚临界情形，我们使用不变张量方法来证明正解的不存在性。特别是，通过将亚临界情形下建立的微分恒等式应用于临界情形，我们提供了对临界情形 $f(u)=u^{p^*-1}$ 中正解分类的一个简化新证明。对于符号变化的解，在 $f$ 满足 certain 条件的情况下，每一個稳定解或在紧凑集外稳定的解都平凡。