一类带梯度项的拉普拉斯方程正解的分类

在本文中，我们研究了在具有非负里奇曲率的完备、连通、非紧黎曼流形 $(M^n,g)$ 上带梯度项的一类拉普拉斯方程的正解，即\n$$-\Delta u = f(u)|\nabla u|^q\quad\text{in }~M^n,$$\n其中 $n\geqslant 3$，$q>0$，且 $f$ 为正连续函数。我们通过不变张量技巧导出一个关键微分恒等式，证明了一些刘维尔定理。特别地，当 $f(u)=u^{\frac{2-q}{n-2}(n+\frac{q}{1-q})-1}$ 时，在 $n=3,4,5$ 维中属于第二临界情形，在不附加任何额外条件（如 $u$ 的可积性条件）的情况下，我们证明了环境流形的刚性以及正解的分类结果。据我们所知，这是第二临界情形中带梯度项方程的首个刚性结果。此外，该结果证实所有解均具有 \cite{BV-GH-V2019} 中所给出的形式。