黎曼流形上一类椭圆与抛物方程的梯度估计

设 $(N, g)$ 为 Ricci 曲率有下界的非紧完备黎曼流形。本文研究 $N$ 上一类非线性椭圆方程 $$\Delta u(x)+a(x)u(x)\log u(x)+b(x)u(x)=0$$ 正解的梯度估计，其中 $a(x)$ 为 $C^{2}$ 光滑，$b(x)$ 为 $C^{1}$；及其抛物型对应方程 $$(\Delta-\frac{\partial}{\partial t})u(x,t)+a(x,t)u(x,t)\log u(x,t) + b(x,t)u(x,t)=0$$ 在 $N\times[0, \infty)$ 上的梯度估计，其中 $a(x,t)$ 与 $b(x,t)$ 关于 $x\in N$ 为 $C^{2}$，关于时间 $t$ 为 $C^{1}$。与众多类似结果不同，此处我们不假设方程系数为常数，因此我们的结果可视为对若干经典估计的推广。