黎曼流形上 $\Delta u + au(\log u)^{p}+bu=0$ 的丘成桐型梯度估计

本文考虑在完备黎曼流形 $(M, g)$ 上定义的如下方程的正解的梯度估计 $$\Delta u + au(\log u)^{p}+bu=0,$$ 其中 $a, b\in \mathbb{R}$，$p$ 为有理数且满足 $p=\frac{k_1}{2k_2+1}\geq2$，其中 $k_1$ 和 $k_2$ 为正整数。我们得到了该方程正解的梯度界，其不依赖于解的上界以及 $(M, g)$ 上距离函数的拉普拉斯算子的上界。我们的结果可视为丘成桐关于正调和函数估计的自然推广。