黎曼流形上 Lichnerowicz 型方程的梯度估计与 Liouville 定理

本文考虑完备黎曼流形 $(M,\,g)$ 上如下椭圆型 (Lichnerowicz) 方程正解的梯度估计：$$\Delta v + \mu v + a v^{p+1} +b v^{-q+1} =0,$$ 其中 $p\geq-1$，$q\geq1$，$\mu$、$a$ 和 $b$ 为实常数。在 $\mu\geq0$ 且 $b\geq0$ 或 $\mu<0$、$a>0$ 且 $b>0$（$\mu$ 有下界）的情形下，若 $(M,\,g)$ 满足 $Ric \geq -(n-1)\kappa$（其中 $n\geq3$ 为 $M$ 的维数，$\kappa$ 为非负常数），且 $\mu$、$a$、$b$、$p$ 和 $q$ 满足某些技术性条件，我们采用 Nash-Moser 迭代技术得到上述方程解的某些精细梯度估计。由所获梯度估计，我们在某些适当的几何与分析条件下也推导了该方程的若干 Liouville 型定理。作为应用，我们可以导出 $n$ 维 Einstein-标量场 Lichnerowicz 方程（其中 $n\geq3$）解的某些 Cheng-Yau 型梯度估计。