完备黎曼流形上方程 $\Delta v+v^r-v^s= 0$ 解的梯度估计

本文考虑在完备黎曼流形 $(M,\,g)$ 上定义的如下椭圆方程正解的梯度估计：$$\Delta v+v^r-v^s= 0,$$其中 $r$ 和 $s$ 为两个实常数。当 $(M,\,g)$ 满足 $Ric \geq -(n-1)\kappa$（其中 $n\geq2$ 为 $M$ 的维数，$\kappa$ 为非负常数）时，我们在适当的几何与分析条件下，利用 Nash-Moser 迭代技术导出上述方程正解的 Cheng-Yau 型梯度估计。此外，我们证明当 $M$ 的 Ricci 曲率为非负时，若 $r<s$ 且 $$1<r<\frac{n+3}{n-1}\quad\quad ~~\mbox{或}~~\quad 1<s<\frac{n+3}{n-1},$$则该椭圆方程除 $u\equiv 1$ 外不存在其他正解。