拟线性椭圆型方程带非线性梯度项的刘维尔型定理与解的存在性

本文关注带非线性梯度项的拟线性椭圆型方程正弱解的两个性质。首先，我们给出了方程含 $m$-拉普拉斯算子 \begin{equation*} -\Delta_{m}u=u^q|\nabla u|^p\ \ \ \mathrm{in}\ \mathbb{R}^N, \end{equation*} 的正弱解的刘维尔型定理，其中 $N\geq1$，$m>1$ 且 $p,q\geq0$。利用伯恩斯坦梯度估计技术研究 $p<m$ 的情形。此外，在指数的亚临界范围 \begin{equation*} q(N-m)+p(N-1)<N(m-1) \end{equation*} 下也建立了上解的刘维尔型定理。随后，我们使用度论证得到形如 $-\Delta_m u = f(x,u,\nabla u)$ 的非线性狄利克雷问题正弱解的存在性，其中 $f$ 满足特定结构条件。我们的证明基于先验估计，将通过爆破论证结合半空间中的刘维尔型定理完成。作为另一应用，证明了若干新的哈纳克不等式。