具次自然增长项的非线性椭圆方程在 Lebesgue 空间中的解

我们研究正解 $u \in L^{r}(\mathbb{R}^{n})$（$0<r<\infty$）的存在性问题，其所满足的拟线性椭圆方程为 $$-\Delta_{p} u = \sigma u^{q} \quad \text{in} \;\; \mathbb{R}^n$$ 其中处于次自然增长情形 $0<q< p-1$，$\Delta_{p}u = \text{div}( |\nabla u|^{p-2} \nabla u )$ 为 $p$-拉普拉斯算子，$1<p<\infty$，而 $\sigma$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的非负可测函数（或测度）。我们的技术依赖于对涉及非线性势的一般积分方程及相关加权范数不等式的研究。它们适用于更一般的拟线性椭圆算子，如 $\mathcal{A}$-拉普拉斯算子 $\text{div} \mathcal{A}(x,\nabla u)$、$\mathbb{R}^n$ 上的分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\alpha}$，以及具有有界可测系数 $\text{div}(\mathcal{A} \nabla u)$ 的线性一致椭圆算子（定义于具有正格林函数的任意区域 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 上）。