具有梯度自然增长和分布数据的非线性方程及其在Schrödinger型方程中的应用

我们得到了关于分布 $\sigma$ 的带锐常数的充要条件，以保证在有界开集 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 中形如 $-\Delta_p u = |\nabla u|^p + \sigma$ 的具自然增长梯度源项的拟线性方程存在全局有限能量解。这里 $\Delta_p$，$p>1$，是由 $\Delta_p u={\rm div}\,(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ 定义的标准 $p$-拉普拉斯算子。我们感兴趣的这类解由满足 $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ 且对某个 ${\mu}>0$ 有 $e^{{\mu} u}\in W^{1,p}_0(\Omega)$，并对所有 $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ 成立不等式 \begin{equation*} \int_{\Omega} |\varphi|^p |\nabla u|^p dx \leq A \int_\Omega |\nabla \varphi|^p dx \end{equation*}（其中常数 $A>0$）的函数组成。这至少当分布 $\sigma$ 非负时是一个自然的解类。对 $-\Delta_p u = |\nabla u|^p + \sigma$ 的研究被应用于通过指数变换 $u\mapsto v=e^{\frac{u}{p-1}}$ 证明Schrödinger型拟线性方程 $-\Delta_p v = \sigma\, v^{p-1}$，$v\geq 0$ 于 $\Omega$ 内，且 $v=1$ 于 $\partial\Omega$ 存在全局有限能量解。