$\mathbb{R}^N$ 中非线性薛定谔方程的新类型解

我们为非线性薛定谔方程构造了一族新的整体解 \begin{align*} \begin{cases} -\Delta u+ V(y ) u = u^p, \quad u>0, \quad \text{in}~ \mathbb{R}^N, \[2mm] u \in H^1(\mathbb{R}^N), \end{cases} \end{align*} 其中 $p\in (1, \frac{N+2}{N-2})$ 且 $N\geq 3$，$V (y)= V(|y|)$ 是满足 $$V(|y|) = V_0 + \frac{a}{|y|^m} + O( \frac{1}{|y|^{m+\sigma}} ), \quad {\mbox {as}} \quad |y| \to \infty ,$$ 的正有界径向势，其中某些固定常数 $V_0, a, \sigma >0$，且 $m>1$。我们的解与 Yamabe 方程整体有限能量变号解的加倍构造有很强的相似性。