非线性薛定谔-牛顿系统的新型解

非线性薛定谔-牛顿系统 \begin{equation*} \begin{cases} \Delta u- V(|x|)u + \Psi u=0, &~x\in\mathbb{R}^3,\\ \Delta \Psi+\frac12 u^2=0, &~x\in\mathbb{R}^3, \end{cases} \end{equation*} 是将量子力学的线性薛定谔方程与牛顿力学的引力定律耦合而得到的非线性系统。Wei和Yan在（Calc. Var. Partial Differential Equations 37 (2010),423--439）中证明了薛定谔方程在$\mathbb{R}^N$中有无穷多个正解，这些解在$(y_{1}, y_{2})$平面具有多边形对称性，且在其他变量中径向对称。Duan等人在（arXiv:2006.16125v1）中推广了Wei和Yan的结果，这些解在$(y_{1}, y_{2})$平面具有多边形对称性，且在$y_{2}$中为偶，并在解的表达式中多了一个参数。在势函数V的适当假设下，Hu等人在（arXiv: 2106.04288v1）为薛定谔-牛顿系统构造了无穷多个非径向正解，这些正解在$(y_{1}, y_{2})$平面具有多边形对称性，且在$y_{2}$和$y_{3}$中为偶。假设$V(r)$具有以下特征 \begin{equation*} V(r)=V_{1}+\frac{b}{r^q}+O\Big(\frac{1}{r^{q+\sigma}}\Big),~\mbox{ as } r\rightarrow\infty, \end{equation*} 其中$\frac12\leq q<1$且$b, V_{1}, \sigma$为某些正常数，$V(y)\geq V_1>0$，我们通过Lyapunov-Schmidt约化方法为薛定谔-牛顿系统构造了无穷多个在$(y_{1}, y_{2})$平面具有多边形对称性且在$y_{2}$中为偶的非径向正解。我们将Duan等人在（arXiv:2006.16125v1）中得到的结果推广到了非线性薛定谔-牛顿系统。